Esperanza matemática
Valor esperado
Si una variable aleatoria indentificada como X adopta los valores X1, X2, X3.....Xn
con su probabilidad correspondiente P1, P2, P3....Pn, entonces el valor esperado de esta variable se obtiene de la siguiente manera:
E= ∑ XiPi
Ejemplo 1:
En una tienda donde se venden aparatos electrodomésticos se reunieron los siguientes datos sobre la venta de refrigeradores para el 10 de mayo del 2010.
Refrigeradores vendidos Probabilidad de venderlos
Xi Pi
0 .20
1 .30
2 .30
3 .15
4 .05
Determinar el valor esperado de ventas para el próximo 10 de mayo del 2011.
Solución=
E = 0(.20) + 1(.30) + 2(.30) + 3(.15) + 4(.05) = 1.55 E= Se espera vender entre 1 y 2 refrigeradores
Ejemplo 2:
Después de lanzar un dado se ha obtenido que la probabilidad de obtener cierto número varía de la siguiente manera:
#Cara Probabilidad
1 0.1
2 0.2
3 0.1
4 0.4
5 0.1
6 0.1
En base en lo anterior cual es el valor esperado en un nuevo lanzamiento
Solución=
E= 1(0.1) + 2(0.2) + 3(0.1) + 4(0.4) + 5(0.1) + 6(0.1) = 3.5
E= Se espera entre 3 y 4
Ejemplo 3:
La probabilidad de que una persona que entra a una tienda departamental compre 0-5 artículos, ¿Cuántos artículos se espera que compre una persona en esa tienda?
#Artículos P(x)
0 .11
1 .33
2 .31
3 .12
4 .09
5 .04
Solución=
E= 0(.11) + 1(.33) + 2(.31) + 3(.12) + 4(.09) + 5(.04) = 1.87
E= Se esperan vender de 1 a 2 artículos
martes, 21 de junio de 2011
PROBABILIDAD
Diagrama de árbol
A este tipo de probabilidad se le llama proceso estocastico (azar). Este proceso consiste en llevar a cabo una serie de eventos o experimentos que pueden suceder de un determinado numero de maneras o formas cada uno de una probabilidad determinada.
La probabilidad de cada evento se obtiene como un producto y después se suman dichas probabilidades siendo el resultado la probabilidad total del evento deseado.
Ejemplo 1:
Tenemos 3 cajas con las siguientes características.
*La caja 1 tiene 10 lámparas de las cuales 4 son defectuosas.
*La caja 2 tiene 6 lámparas de las cuales 1 es defectuosa.
*La caja 3 tiene 8 lámparas de las cuales 3 son defectuosas.
Escogemos al azar una caja y sacamos una lámpara. ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?
Solución=
Ejemplo 2:
Una caja tiene 3 monedas, la primer moneda es corriente, la segunda tiene dos sellos y la tercera moneda esta cargada de modo que la probabilidad de obtener un sello es de 1/3 se selecciona una moneda al azar y se lanza , ¿Cuál es la probabilidad de que salga águila?
Solución=
Ejemplo 3:
Se ha detectado en una línea de producción que uno de cada 10 artículos fabricados es afectado, se toman 3 artículos uno tras otro:
a)Encuentre la probabilidad del numero esperado de artículos defectuosos
b)Dos artículos sean defectuosos
c)De que ningún artículo sea defectuoso
D=Defectuoso
ND= No Defectuoso
Solución=
A este tipo de probabilidad se le llama proceso estocastico (azar). Este proceso consiste en llevar a cabo una serie de eventos o experimentos que pueden suceder de un determinado numero de maneras o formas cada uno de una probabilidad determinada.
La probabilidad de cada evento se obtiene como un producto y después se suman dichas probabilidades siendo el resultado la probabilidad total del evento deseado.
Ejemplo 1:
Tenemos 3 cajas con las siguientes características.
*La caja 1 tiene 10 lámparas de las cuales 4 son defectuosas.
*La caja 2 tiene 6 lámparas de las cuales 1 es defectuosa.
*La caja 3 tiene 8 lámparas de las cuales 3 son defectuosas.
Escogemos al azar una caja y sacamos una lámpara. ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?
Ejemplo 2:
Una caja tiene 3 monedas, la primer moneda es corriente, la segunda tiene dos sellos y la tercera moneda esta cargada de modo que la probabilidad de obtener un sello es de 1/3 se selecciona una moneda al azar y se lanza , ¿Cuál es la probabilidad de que salga águila?
Ejemplo 3:
Se ha detectado en una línea de producción que uno de cada 10 artículos fabricados es afectado, se toman 3 artículos uno tras otro:
a)Encuentre la probabilidad del numero esperado de artículos defectuosos
b)Dos artículos sean defectuosos
c)De que ningún artículo sea defectuoso
D=Defectuoso
ND= No Defectuoso
PROBABILIDAD
Eventos Independientes
Cuando 2 eventos ocurren de tal manera que ninguna afecta la aparición del otro, la probabilidad de que ambos ocurran es igual al producto de sus probabilidades individuales.
P(AB)=P(A) x P(B)
Ejemplo 1:
Se lanza una moneda y un dado, que probabilidad existe de que caiga sello y un numero 3.
Solución= P(selloU3) = 1/2 x 1/6 = 1/12
Ejemplo 2:
Se tiran un par de dados,¿que probabilidad existe que ambos caigan en 2?
Solución= P(2n2)= 1/6 x 1/6 = 1/36
Ejemplo 3:
Se tiran un par de dados:
a) ¿Qué probabilidad existe de que ambos caigan en par?
b) ¿Qué probabilidad existe de que uno caiga en par y otro en non?
Solución= P(Par n Par) = 3/6 x 3/6 = 1/4
P(Par U Non) = 3/6 x 3/6 = 1/4
Cuando 2 eventos ocurren de tal manera que ninguna afecta la aparición del otro, la probabilidad de que ambos ocurran es igual al producto de sus probabilidades individuales.
P(AB)=P(A) x P(B)
Ejemplo 1:
Se lanza una moneda y un dado, que probabilidad existe de que caiga sello y un numero 3.
Solución= P(selloU3) = 1/2 x 1/6 = 1/12
Ejemplo 2:
Se tiran un par de dados,¿que probabilidad existe que ambos caigan en 2?
Solución= P(2n2)= 1/6 x 1/6 = 1/36
Ejemplo 3:
Se tiran un par de dados:
a) ¿Qué probabilidad existe de que ambos caigan en par?
b) ¿Qué probabilidad existe de que uno caiga en par y otro en non?
Solución= P(Par n Par) = 3/6 x 3/6 = 1/4
P(Par U Non) = 3/6 x 3/6 = 1/4
PROBABILIDAD
Eventos que no son mutuamente excluyentes.
Son eventos que si pueden ocurrir al mismo tiempo, su probabilidad se calcula de la siguiente fórmula.
P(AnB)= P(A) + P(B) - P(AyB)
Ejemplo 1:
En una baraja de 52 cartas que probabilidad de que al sacar solo una carta ésta sea un 2 o una carta de corazones.
Solución= P(2)= 4/52
P(Corazones)= 13/52
P(2)(Corazones)= 1/52
Por lo tanto, P(2nB) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 4/13
Ejemplo 2:
Se lanzan dos dados al mismo tiempo, ¿ qué probabilidad existe de que ambos caigan en 2?
Solución=
P(2)= 2/12 = 1/2
Ejemplo 3:
Se lanzan dos dados al mismo tiempo, qué probabilidad existe de:
a)Que ambos caigan en par
b)Que uno caiga en par y el otro en impar mayor que 2
Solución=
a) P(ambosPar) = 9/36= 1/4
b)P(Par)= 3/6= 1/2
P(1u1u1>2)= 2/6 = 1/3
Por lo tanto, P(ParU1 >2)= 1/2 + 1/3 = 5/6
Son eventos que si pueden ocurrir al mismo tiempo, su probabilidad se calcula de la siguiente fórmula.
P(AnB)= P(A) + P(B) - P(AyB)
Ejemplo 1:
En una baraja de 52 cartas que probabilidad de que al sacar solo una carta ésta sea un 2 o una carta de corazones.
Solución= P(2)= 4/52
P(Corazones)= 13/52
P(2)(Corazones)= 1/52
Por lo tanto, P(2nB) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 4/13
Ejemplo 2:
Se lanzan dos dados al mismo tiempo, ¿ qué probabilidad existe de que ambos caigan en 2?
Solución=
P(2)= 2/12 = 1/2
Ejemplo 3:
Se lanzan dos dados al mismo tiempo, qué probabilidad existe de:
a)Que ambos caigan en par
b)Que uno caiga en par y el otro en impar mayor que 2
Solución=
a) P(ambosPar) = 9/36= 1/4
b)P(Par)= 3/6= 1/2
P(1u1u1>2)= 2/6 = 1/3
Por lo tanto, P(ParU1 >2)= 1/2 + 1/3 = 5/6
PROBABILIDAD
Eventos mutuamente excluyentes
Son eventos que ambos no pueden ocurrir al mismo tiempo y su probabilidad se calcula de la siguiente manera:
P(AUB)= P(A) + P(B)
Ejemplo 1:
De una baraja de 52 cartas que probabilidad existe que al sacar una sola carta ésta sea un diamante o un corazón.
Hay 13 cartas de diamantes rojos
Hay 13 espadas negras
Hay 13 tréboles negros
Hay 13 corazones rojos
Solución= P(Diamantes)= 13/52
P(Corazones)= 13/52
Por lo tanto, P(DUC)= 13/52 + 13/52 = 26/52 = 1/2
Ejemplo 2:
Con una baraja de 52 cartas, obtener la probabilidad de sacar un rey o reina.
Solución= P(Rey)= 4/5
P(Reina)= 4/52
Por lo tanto, P(ReyUReina)= 4/52 + 4/52 = 8/52 = 2/13
Ejemplo 3:
Se extrae una carta al azar de un naipe inglés de 52 cartas. Supongamos que definimos los eventos A : "sale 3" y B: "sale una figura" y se nos pregunta por la probabilidad de que ocurra A ó B .
Solución= P(3)= 4/52
P(Figura)= 12/52
Por lo tanto, P(3UF)= 4/52 + 12/52 = 4/13
Son eventos que ambos no pueden ocurrir al mismo tiempo y su probabilidad se calcula de la siguiente manera:
P(AUB)= P(A) + P(B)
Ejemplo 1:
De una baraja de 52 cartas que probabilidad existe que al sacar una sola carta ésta sea un diamante o un corazón.
Hay 13 cartas de diamantes rojos
Hay 13 espadas negras
Hay 13 tréboles negros
Hay 13 corazones rojos
Solución= P(Diamantes)= 13/52
P(Corazones)= 13/52
Por lo tanto, P(DUC)= 13/52 + 13/52 = 26/52 = 1/2
Ejemplo 2:
Con una baraja de 52 cartas, obtener la probabilidad de sacar un rey o reina.
Solución= P(Rey)= 4/5
P(Reina)= 4/52
Por lo tanto, P(ReyUReina)= 4/52 + 4/52 = 8/52 = 2/13
Ejemplo 3:
Se extrae una carta al azar de un naipe inglés de 52 cartas. Supongamos que definimos los eventos A : "sale 3" y B: "sale una figura" y se nos pregunta por la probabilidad de que ocurra A ó B .
Solución= P(3)= 4/52
P(Figura)= 12/52
Por lo tanto, P(3UF)= 4/52 + 12/52 = 4/13
PROBABILIDAD
Probabilidad Clásica
Es el cociente que resulta al dividir el numero de resultados en los que se presenta el evento entre el número total de resultados posibles.
Ejemplo:
¿Cúal es la probabilidad que al lanzar una moneda ésta pueda caer en águila?
P(águila)= 1/2
Ejemplo 1:
En CalTV, 504 de 813 refrigeradores vendidos requieren reparación dentro del primer año de garantía. ¿Cúal es la probabilidad que un refrigerador vendido no requiera reparación dentro del primer año de garantía?
Solución= Si P(reparación)= 504/813 = .62
P(No reparación)= 309/813= .38
Ejemplo 2:
Si los registros de una aerolínea demuestran que 468 de 600 de sus vuelos a San Francisco llegan a tiempo, Cúal es la probabilidad de:
a)Cualquier vuelo llegue a tiempo
b)No llegue a tiempo
Solución= a) P(A tiempo)= 468/600 = .78
b) P (Retrasados)= 132/600 = .22
Ejemplo 3:
La probabilidad de que al sacar una carta al azar de un naipe inglés (52 cartas), ella sea un as, es:
Solución= Los casos favorables a obtener un as son 4
Por lo tanto, 4/52 = 1/13
Es el cociente que resulta al dividir el numero de resultados en los que se presenta el evento entre el número total de resultados posibles.
Ejemplo:
¿Cúal es la probabilidad que al lanzar una moneda ésta pueda caer en águila?
P(águila)= 1/2
Ejemplo 1:
En CalTV, 504 de 813 refrigeradores vendidos requieren reparación dentro del primer año de garantía. ¿Cúal es la probabilidad que un refrigerador vendido no requiera reparación dentro del primer año de garantía?
Solución= Si P(reparación)= 504/813 = .62
P(No reparación)= 309/813= .38
Ejemplo 2:
Si los registros de una aerolínea demuestran que 468 de 600 de sus vuelos a San Francisco llegan a tiempo, Cúal es la probabilidad de:
a)Cualquier vuelo llegue a tiempo
b)No llegue a tiempo
Solución= a) P(A tiempo)= 468/600 = .78
b) P (Retrasados)= 132/600 = .22
Ejemplo 3:
La probabilidad de que al sacar una carta al azar de un naipe inglés (52 cartas), ella sea un as, es:
Solución= Los casos favorables a obtener un as son 4
Por lo tanto, 4/52 = 1/13
TECNICAS DE CONTEO
Combinaciones
Es una colección de "r" elementos distintos elegidos de un conjunto de "n" elementos. Sin tomar en cuenta el orden. Las combinaciones se representan de las siguientes 2 maneras y se obtienen mediante la siguiente forma.
nCr= n! Donde:
n= Todo el conjunto de objetos
_____ r= # de factores a combinar
r! (n-r)! C= Indica que es un arreglo
donde no importa el orden
Ejemplo 1:
Una preselección de fútbol está formada por 25 jugadores, ¿De cuántas maneras se puede integrar el equipo sin asignar posiciones?
Solución: 25C11= 4457400
Ejemplo 2:
En una bolsa hay 6 monedas, si se toman 4 ¿Cuántas maneras de sacar las monedas hay?
Solución: 6C4= 15
Ejemplo 3:
En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos, ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
Solución: 35C3= 6545
Es una colección de "r" elementos distintos elegidos de un conjunto de "n" elementos. Sin tomar en cuenta el orden. Las combinaciones se representan de las siguientes 2 maneras y se obtienen mediante la siguiente forma.
nCr= n! Donde:
n= Todo el conjunto de objetos
_____ r= # de factores a combinar
r! (n-r)! C= Indica que es un arreglo
donde no importa el orden
Ejemplo 1:
Una preselección de fútbol está formada por 25 jugadores, ¿De cuántas maneras se puede integrar el equipo sin asignar posiciones?
Solución: 25C11= 4457400
Ejemplo 2:
En una bolsa hay 6 monedas, si se toman 4 ¿Cuántas maneras de sacar las monedas hay?
Solución: 6C4= 15
Ejemplo 3:
En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos, ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
Solución: 35C3= 6545
TECNICAS DE CONTEO
Permutaciones.
Una permutación es un arreglo de objetos, letras o números ordenados. Se representa mediante nPr.
Donde:
nPr= n! n= Todo el conjunto de objetos
_____ r= numero de factores a ordenar
P= indica que es un arreglo ordenado
(n-r)!
Ejemplo 1:
Cuantas palabras de 4 letras es posible formar a partir de un alfabeto compuesto por 26 letras sabiendo que no se permite que las letras se dupliquen.
Solución: 26P4= 358800
Ejemplo 2:
De cuantas formas se pueden repartir las tres medallas de oro, plata y bronce entre un grupo de 5 atletas.
Solución: 5P3= 60
Ejemplo 3:
En una carrera de maratón intervienen 3 españoles, 2 ingleses, 1 italiano, 3 alemanes, 2 franceses y 1 belga. Si un pódium consiste en 3 personas situadas en 3 puestos distintos, ¿Cuántos pódiums distintos pueden darse al acabar la carrera?
Solución: 12P3= 1320
Una permutación es un arreglo de objetos, letras o números ordenados. Se representa mediante nPr.
Donde:
nPr= n! n= Todo el conjunto de objetos
_____ r= numero de factores a ordenar
P= indica que es un arreglo ordenado
(n-r)!
Ejemplo 1:
Cuantas palabras de 4 letras es posible formar a partir de un alfabeto compuesto por 26 letras sabiendo que no se permite que las letras se dupliquen.
Solución: 26P4= 358800
Ejemplo 2:
De cuantas formas se pueden repartir las tres medallas de oro, plata y bronce entre un grupo de 5 atletas.
Solución: 5P3= 60
Ejemplo 3:
En una carrera de maratón intervienen 3 españoles, 2 ingleses, 1 italiano, 3 alemanes, 2 franceses y 1 belga. Si un pódium consiste en 3 personas situadas en 3 puestos distintos, ¿Cuántos pódiums distintos pueden darse al acabar la carrera?
Solución: 12P3= 1320
lunes, 20 de junio de 2011
TECNICAS DE CONTEO
Principio fundamental de conteo.
Principio fundamental de conteo (MT). Para enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimentos se puede utilizar un diagrama de árbol pero resulta poco practico cuando el número de elementos es muy grande entonces se utiliza el principio fundamental de conteo y se expresa de la siguiente forma:
MT= (m1)(m2)(m3)...(Mn)
MT= # Total de formas
Ejemplo 1:
Un grupo de jóvenes esta formado por 20 señoritas y 15 jóvenes y se desean elegir a su mesa directiva la cual esta formada de la siguiente manera:
a)Una mujer sera presidente
b)Un hombre sera vicepresidente
c)Para tesorero y secretario no nos importa el sexo
Cuantas formas hay que realizar esta mesa directiva?
Solución= MT=(20)(15)(33)(32)=316800
Ejemplo 2:
En una empresa hay vacante para varias personas.Cuantas formas distintas hay que distribuirle el personal si se pide:
a)Dos señoras mayores de 45 para limpieza
b)Dos damitas menores de 25 para recepción
c)Un hombre mayor de 18 para repartidor
d)Una persona que no importa sexo ni edad para servir café
10 mujeres menores de 25 años
9 mujeres mayores de 45 años
Solución= MT=(9)(8)(10)(9)(7)(21)=952560
Ejemplo 3:
¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que
cada persona no puede obtener más de un premio?
Solución= MT=(10)(9)(8)=720
Principio fundamental de conteo (MT). Para enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimentos se puede utilizar un diagrama de árbol pero resulta poco practico cuando el número de elementos es muy grande entonces se utiliza el principio fundamental de conteo y se expresa de la siguiente forma:
MT= (m1)(m2)(m3)...(Mn)
MT= # Total de formas
Ejemplo 1:
Un grupo de jóvenes esta formado por 20 señoritas y 15 jóvenes y se desean elegir a su mesa directiva la cual esta formada de la siguiente manera:
a)Una mujer sera presidente
b)Un hombre sera vicepresidente
c)Para tesorero y secretario no nos importa el sexo
Cuantas formas hay que realizar esta mesa directiva?
Solución= MT=(20)(15)(33)(32)=316800
Ejemplo 2:
En una empresa hay vacante para varias personas.Cuantas formas distintas hay que distribuirle el personal si se pide:
a)Dos señoras mayores de 45 para limpieza
b)Dos damitas menores de 25 para recepción
c)Un hombre mayor de 18 para repartidor
d)Una persona que no importa sexo ni edad para servir café
10 mujeres menores de 25 años
9 mujeres mayores de 45 años
Solución= MT=(9)(8)(10)(9)(7)(21)=952560
Ejemplo 3:
¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que
cada persona no puede obtener más de un premio?
Solución= MT=(10)(9)(8)=720
TECNICAS DE CONTEO
Diagrama de Árbol
Es un esquema que se utiliza para enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimentos de donde cada experimento puede suceder un numero finito de maneras.
Ejemplo 1:
Una persona desea realizar un viaje a tres lugares diferentes suponiendo que la persona ya decidió que va a viajar a Torreón, Zacatecas y Durango en ese orden de cuantas maneras diferentes podría haber realizado su viaje de no haber precipitado su desición.
solución=
Ejemplo 2:
Utilizando un diagrama de árbol cuantas maneras diferentes se pueden acomodar las 4 letras de la palabra ROMA e identifique las palabras que tienen sentido.
solución=
Ejemplo 3:
Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden
Solución=
Es un esquema que se utiliza para enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimentos de donde cada experimento puede suceder un numero finito de maneras.
Ejemplo 1:
Una persona desea realizar un viaje a tres lugares diferentes suponiendo que la persona ya decidió que va a viajar a Torreón, Zacatecas y Durango en ese orden de cuantas maneras diferentes podría haber realizado su viaje de no haber precipitado su desición.
Ejemplo 2:
Utilizando un diagrama de árbol cuantas maneras diferentes se pueden acomodar las 4 letras de la palabra ROMA e identifique las palabras que tienen sentido.
Ejemplo 3:
Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden
estar los pacientes de este médico?
Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el número de clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 mismas que podemos enumerar;
MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc, etc.
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